Sepertinya sudah lama nggak nge-posting hal-hal yang berbau matematika. Nah pada kesempatan kali ini, saya akan kembali post hal bertemakan matematika sekaligus melanjutkan post saya sebelumnya yang berjudul "Kekeliruan dalam Matematika (Mathematical Fallacy) *Bagian 1*". Udah pada penasaran kan? Langsung aja check this out guys! :)
1. Akar Kuadrat Positif dan Negatif
Banyak orang melakukan kekeliruan dalam hal menarik akar kuadrat dari bentuk . Dari bentuk ini, seharusnya diperoleh . Namun banyak orang yang melakukan kekeliruan dengan hanya menarik nilai tanpa melihat nilai negatifnya. Berikut ini adalah contohnya.
* Akan dibuktikan bahwa -1 = 1.
Dengan mengambil , maka kita dapatkan:
TERBUKTI
Masih bingung dimana letak kesalahannya? Silakan cek pembahasan berikut! :D
Pembahasan
Seperti pada penjelasan sebelumnya, bahwa setiap bentuk kuadrat memiliki akar . Sekarang perhatikan pada baris ke 4, terlihat bahwa nilai yang diambil hanya yang positif saja, padahal seharusnya juga dengan nilai negatifnya. Dan jika kita masukkan nilai pada , maka akan kita dapatkan ruas kanan bernilai -1 dan juga ruas kirinya bernilai -1.
2. Deret Infinit Divergen
Kekeliruan dalam hal ini terjadi dikarenakan kesalahan penggunaan konsep deret divergen. Berikut ini akan saya berikan contohnya.
* Misalkan bahwa 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + ... = S, maka S - 1 = 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + ...
* Kalikan persamaan awal dengan 2, kita dapatkan:
2S = 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + ...
2S = S - 1
S = -1
Sehingga didapat nilai dari 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + ... = -1
Bagi yang masih bingung dimana letak kesalahannya, silahkan cek pembahasan berikut! :D
Pembahasan
Suatu deret yang berupa deret divergen selalu akan menghasilkan nilai tak hingga atau minus tak hingga. Suatu deret dikatakan divergen, bila nilai mutlak dari rasionya lebih kecil dari 1. Dan karena rasio pada deret diatas adalah 2 (lebih besar dari 1), maka deret diatas merupakan deret divergen. Sehingga, kita tak perlu menghitungnya seperti kita menghitung suatu deret konvergen. Dan kita akan dapatkan hasil dari deret diatas adalah tak hingga.
3. Induksi Matematika
Kesalahan dalam hal ini biasanya disebabkan oleh ketidaktelitian dalam menggunakan prinsip dasar dari induksi matematika. Perhatikan contoh berikut!
* Akan dibuktikan bahwa semua orang Indonesia memiliki umur yang sama. Pernyataan S(n) : Pada setiap grup yang beranggotakan n orang, semuanya memiliki umur yang sama.
Dengan mengambil n adalah jumlah penduduk Indonesia, akan dibuktikan bahwa n penduduk Indonesia tersebut memiliki umur yang sama.
LANGKAH PEMBUKTIAN : Langkah 1 : Pada setiap grup yang beranggotakan satu orang, semua orang yang didalamnya pasti memiliki umur yang sama (Ini sangatlah jelas, karena grup tersebut hanya terdiri dari satu orang). Langkah 2: Berdasarkan hal tersebut, kita dapatkan pernyataan S(1) adalah benar. Langkah 3: Pada tahap selanjutnya, akan dibuktikan bahwa jika S(n) untuk n = k benar, maka S(n) untuk n = k + 1 juga benar. Langkah 4: Untuk membuktikannya, dapat diasumsikan bahwa setiap grup yang beranggotakan k orang, semuanya memiliki umur yang sama. Sehingga dapat disimpulkan bahwa setiap grup yang beranggotakan k + 1 orang , semuanya juga memiliki umur yang sama (sesuai langkah 3). Langkah 5: Misalkan bahwa G adalah grup yang terdiri dari k + 1 orang secara acak. Maka kita hanya perlu membuktikan bahwa orang-orang yang ada pada grup G memiliki umur yang sama. Langkah 6: Untuk membuktikannya, kita hanya perlu menunjukkan, bahwa untuk setiap 2 orang pada grup G yang dipilih secara acak (P dan Q) selalu memiliki umur yang sama. Langkah 7: Misalkan bahwa semua orang ada pada grup G kecuali P, maka akan terbentuk sebuah grup yang beranggotakan k orang. Dari sini kita tau bahwa semua orang Indonseia tersebut memiliki umur yang sama (karena pada langkah 4 sudah diasumsikan, bahwa setiap grup yang beranggotakan k orang, semuanya memiliki umur yang sama). Langkah 8: Misalkan bahwa semua orang ada pada grup G kecuali Q , maka kembali akan terbentuk grup beranggotakan k orang, yang berarti setiap orang yang ada didalamnya memiliki umur yang sama. Langkah 9: Misalkan R adalah orang lain di grup G selain dari P dan Q. Langkah 10: Karena Q dan R berada dalam satu grup berdasarkan langkah 7, berarti mereka memiliki umur yang sama. Langkah 11: Karena P dan R berada dalam satu grup berdasarkan langkah 7, berarti mereka memiliki umur yang sama. Langkah 12: Karena Q dan R berumur sama, serta P dan R juga berumur sama, maka dapat disimpulkan bahwa P dan Q berumur sama. Langkah 13: Karena kita berhasil membuktikan bahwa untuk setiap dua orang yang dipilih acak (P dan Q) pada grup G memiliki umur yang sama, maka dapat kita simpulkan bahwa semua orang yang berada pada grup G juga memiliki umur yang sama. Langkah 14: Sekarang, pembuktiannya sudah lengkap. Kita telah menunjukkan bahwa untuk n = 1, S(n) bernilai benar. Dan untuk setiap n = k benar, maka untuk n = k + 1 juga benar. Sehingga dapat disimpulkan bahwa pernyataan bernilai benar untuk setiap n.
Sudah menemukan letak kesalahannya? Jika sudah menemukan atau mungkin sudah menyerah, silahkan cek pembahasan berikut! :D
Pembahasan
Jika kita perhatikan kembali langkah-langkah diatas, terlihat pembuktian dilakukan dengan mencoba menunjukkan bahwa jika setiap pasangan berumur sama, maka setiap grup yang beranggotakan 3 orang, 4 orang, 5 orang, sampai seterusnya akan berumur sama.
Namun yang menjadi permasalahan adalah, bahwa tidak benar jika setiap pasangan selalu berumur sama. Ini hanya benar, jika setiap grup hanya terdiri dari satu orang. Bagaimanapun, pembuktian ini menjadi salah disaat kita mencoba membuktikan bahwa setiap 2 orang (sepasang) selalu berumur sama. Jika P dan Q adalah pasangan, maka tidak ada orang ketiga R dalam pasangan tersebut untuk membuat argumen tersebut bekerja. Dan dengan demikian kita tidak dapat menyimpulkan bahwa P dan Q memiliki umur yang sama dengan membandingkannya dengan R.
Dan sesuai prinsip dari Induksi Matematika, bahwa proses pembuktian akan menjadi sah jika S(1) benar, S(1) berimplikasi pada S(2), S(2) berimplikasi pada S(3), dan seterusnya. Namun pada proses pembuktian dalam kasus ini, S(1) tidak berimplikasi pada S(2), yang menyebabkan pembuktian tersebut tidak sah.
Nah, itu tadi beberapa contoh kekeliruan yang terjadi dalam matematika. Masih banyak kekeliruan-kekeliruan yang lainnya. Dan untuk menghindari terjadinya kekeliruan-kekeliruan tersebut, sebaiknya dalam mempelajari sesuatu tidak hanya sekedar tau saja, melainkan benar-benar paham. Khususnya dalam bidang matematika, jangan kita hanya menghafalkan rumus-rumus saja, melainkan benar-benar memahami konsepnya dan mengetahui asal-muasal dari rumus-rumus tersebut. Sekian posting-an saya kali ini. Terimakasih untuk kunjungannya, semoga bermanfaat :))
Pada kesempatan kali ini saya akan men-sharegame pertama buatan saya sendiri. Game pertama saya ini, saya beri judul "Zone 51 - The Adventure of UFO" (judulnya mungkin terlihat agak aneh, tapi biarlah, saya memang tidak ahli dalam memberi judul hehe). Game ini difasilitasi oleh Game Maker. Nah, berikut ini akan saya berikan beberapa informasi dan screenshot dari game saya ini. Silahkan dilihat-lihat dulu (Mungkin game ini terkesan sangat sederhana, maklum saja, karena saya juga masih pemula).
INFORMASI PERMAINAN
Judul : Zone 51 - The Adventure of UFO
Genre : Petualangan
Ukuran : 2.38 MB
Rilis : 6 Agustus 2013
Nah itu tadi sekilas informasi tentang game pertama saya ini. Semoga game saya ini bermanfaat dan bisa menjadikan inspirasi untuk sobat-sobat semua untuk membuat game sendiri. Sekian dan terimakasih ^^
Banyak murid sekolah dan bahkan guru menganggap bahwa mencari nilai logaritma harus menggunakan kalkulator. Pandangan ini jelas saja keliru. Karena pada dasarnya, kita dapat menghitung nilai logaritma tanpa kalkulator. Dengan memahami sifat-sifat dari logaritma, menghafalkan 4 "nilai dasar logaritma", dan memahami metode interpolasi linier, menghitung nilai logaritma tanpa kalkulator bukan lagi merupakan hal yang tidak mungkin.
B. NILAI DASAR LOGARITMA DAN AKURASI PERHITUNGAN
Berikut ini, akan saya sajikan 4 nilai, yang saya sebut sebagai "nilai dasar logaritma".
Log 2 = 0,301
Log 3 = 0,477
Log 5 = 0,698
Log 7 = 0,845
Perlu diketahui, bahwa pada metode menghitung logaritma tanpa kalkulator ini, ketepatan nilainya (akurasi perhitungan) mendekati 100% (< 100%). Artinya bahwa perhitungan tidak akan sepenuhnya tepat sesuai nilai yang seharusnya. Namun, untuk menghitung nilai-nilai logaritma yang numerus nya relatif kecil, metode ini terbilang cukup akurat (> 99,9%). Sebaliknya, jika numerusnya relatif besar, cenderung akan terjadi penyimpangan hasil akhir yang semakin besar (akurasi menurun).
Perhatikan contoh berikut!
1. Hitunglah nilai dari log 10!
Kita tau, bahwa nilai log 10 = 1. Nah sekarang, kita coba dengan metode diatas.
Log 10 = Log (2 . 5)
= Log 2 + Log 5
= 0,301 + 0,698
= 0,999 (Mendekati 1)
Sekarang perhatikan untuk menghitung nilai yang numerusnya relatif lebih besar!
2. Hitunglah nilai dari !
Kita tau bahwa nilai dari = 1000 . Log 10 = 1000. Sekarang kita coba dengan
metode diatas. = 1000 . Log 10
= 1000 (Log 2 + Log 5)
= 1000 (0,301 + 0,698)
= 1000 (0,999)
= 999 (Harusnya 1000)
Terlihat jelas, bahwa semakin besar numerusnya, semakin kecil akurasinya. Namun, untuk perhitungan logaritma yang umum kita temui sehari-hari (semisal pada soal setingkat SMP atau SMA), metode diatas merupakan salah satu metode yang cukup akurat untuk digunakan.
C. MEMPERBESAR AKURASI PERHITUNGAN
Pada dasarnya, kita bisa meningkatkan akurasi perhitungan. Namun tentunya, ada usaha lebih yang harus dilakukan. Yaitu dengan menghafal "nilai dasar logaritma" diatas dengan digit dibelakang koma yang lebih banyak. Karena semakin banyak digit dibelakang koma yang kita gunakan dalam perhitungan, semakin besar pula akurasinya. Namun tetap perlu diingat, bahwa akurasinya tidak akan mencapai 100%.
Pada data diatas, saya menyajikan "nilai dasar logaritma" dengan 3 digit angka dibelakang koma. Berikut akan saya berikan data "nilai dasar logaritma" dengan 9 digit angka dibelakang koma.
Log 2 = 0,301029996
Log 3 = 0,477121255
Log 5 = 0,698970004
Log 7 = 0,845098040
(Catatan : Nilai diatas bisa dipotong sesuai kebutuhan. Misal kita hanya ingin menggunakan 4 digit dibelakang koma dari log 2, bisa kita sederhanakan menjadi log 2 = 0,3010)
Perhatikan soal berikut!
1. Hitunglah nilai dari !
Sekarang kita coba gunakan nilai dasar logaritma dengan 5 digit dibelakang koma. = 1000 . Log (2 . 5)
= 1000 (Log 2 + Log 5)
= 1000 (0,30102 + 0,69897)
= 1000 (0,99999)
= 999,99 (mendekati 1000)
Terlihat bahwa dengan menggunakan digit dibelakang koma yang lebih banyak dalam perhitungan, semakin besar akurasinya. Namun, tidak perlu sampai hafal 9 digit tersebut atau bahkan lebih. Bisa kita sesuaikan dengan kebutuhan (Saya relomendasikan untuk menghafal 3 digit saja).
D. CONTOH SOAL DAN PEMBAHASAN
1. Hitunglah nilai dari Log 42 !
Log 42 = Log (2 . 3 . 7)
= Log 2 + Log 3 + Log 7
= 0,301 + 0,477 + 0,845
= 1,623 (Hasilnya 1,62324929 dengan Ms. Excel)
2. Hitunglah nilai dari !
=
=
= 1,771 (Hasilnya 1,771243749 dengan Ms. Excel)
3. Hitunglah nilai dari !
=
=
=
= (Hasilnya 4,392317423 dengan Ms. Excel)
E. INTERPOLASI LINEAR
Pada posting-an saya kali ini, saya tidak akan membahas secara mendetail tentang interpolasi linear. Namun secara singkat saja, interpolasi linear adalah salah satu metode untuk mencari koordinat sebuah titik, diantara dua buah titik data yang diketahui dengan membuat sebuah garis linier yang melalui kedua titik data tersebeut. Rumus dari interpolasi linier yaitu:
Keterangan:
x dan y adalah koordinat yang kita cari, sementara dan adalah dua buah koordinat yang kita ketahui nilainya
Mungkin masih banyak yang bingung, "kenapa kita harus pelajari metode interpolasi linier ini?". Jawabannya adalah karena tidak semua perhitungan logaritma bisa kita hitung secara langsung hanya dengan sifat-sifat logaritma sederhana dan menghafalkan 4 nilai dasar logaritma diatas. Untuk lebih memahaminya, perhatikan contoh soal berikut!
Hitunglah nilai dari Log 13 !
Kita tau bahwa 13 adalah bilangan prima. Sementara nilai dasar yang kita perlu tau cukup sampai Log 7 saja. Jadi, bagaimana cara menghitungnya?
Kita gunakan metode interpolasi linier. Langkah pertama, kita tentukan terlebih dahulu dan . Karena nilai yang paling dekat dengan 13 adalah 12 dan 14, maka kita dapatkan nilai = 12 dan = 14.
Sekarang kita akan menghitumng nilai untuk dan . = Log 12 = Log 3 + Log 4 = Log 3 + (2 Log 2) = 0,477 + 0,602 = 1,079 = Log 14 = Log 2 + Log 7 = 0,301 + 0,845 = 1,146 Langkah kedua, masukkan nilai-nilai tersebut kedalam rumus (Nilai x kita ganti dengan 13).
(Hasilnya 1,113943352 dengan Ms. Excel)
Seperti dijelaskan diatas, bahwa metode ini adalah metode dengan menggunakan sebuah garis lurus (linier). Sementara kita tau, bahwa grafik fungsi logaritma adalah sebuah kurva dan bukan garis lurus. Sehingga, nilai yang kita dapat dengan metode interpolasi linier ini adalah nilai perkiraan, dan bukan sepenuhnya nilai yang sebenarnya (Akurasinya mendekati 100%).
F. LOGARITMA NATURAL
Satu lagi bentuk logaritma yang umum kita jumpai adalah logaritma natural. Logaritma natural adalah logaritma yang memiliki basis bilangan Euler (e = 2,7182818...). Logaritma natural biasanya ditulis dengan bentuk Ln (dibaca Lon). Contohnya adalah Ln 2. Apa artinya? Artinya adalah , yaitu e pangkat berapa sehingga hasilnya adalah 2.
Nah, untuk memudahkan kita dalam menghitung nilai dari logaritma natural, ada satu bilangan lagi yang perlu kita hafal nilainya, yaitu: Log e = 0,4342944819
Perhatikan contoh berikut!
Hitunglah nilai dari Ln 3 !
Ln 3
=
=
= 1,099 (Hasilnya 1,098612289 dengan Ms. Excel)
Dari contoh diatas, kita bisa buat rumus untuk mencari nilai Ln x, dengan x adalah bilangan real positif.
G. SOAL LATIHAN
Cobalah kerjakan soal-soal berikut ini tanpa menggunakan kalkulator!
Hitunglah nilai dari:
1. Log 196 !
2. !
3. Log 0,48 !
4. Log 33 !
5. Ln 10 !
6. Ln 0,24 !
