Kekeliruan dalam Matematika (Mathematical Fallacy) *Bagian 2*

Hai guys!

Sepertinya sudah lama nggak nge-posting hal-hal yang berbau matematika. Nah pada kesempatan kali ini, saya akan kembali post hal bertemakan matematika sekaligus melanjutkan post saya sebelumnya yang berjudul "Kekeliruan dalam Matematika (Mathematical Fallacy) *Bagian 1*". Udah pada penasaran kan? Langsung aja check this out guys! :)

=========================================================================

1. Akar Kuadrat Positif dan Negatif
Banyak orang melakukan kekeliruan dalam hal menarik akar kuadrat dari bentuk  . Dari bentuk ini, seharusnya diperoleh . Namun banyak orang yang melakukan kekeliruan dengan hanya menarik nilai  tanpa melihat nilai negatifnya. Berikut ini adalah contohnya.

* Akan dibuktikan bahwa -1 = 1.

Dengan mengambil , maka kita dapatkan:

TERBUKTI

Masih bingung dimana letak kesalahannya? Silakan cek pembahasan berikut! :D

Pembahasan

Seperti pada penjelasan sebelumnya, bahwa setiap bentuk kuadrat memiliki akar . Sekarang perhatikan pada baris ke 4, terlihat bahwa nilai yang diambil hanya yang positif saja, padahal seharusnya juga dengan nilai negatifnya. Dan jika kita masukkan nilai pada , maka akan kita dapatkan ruas kanan bernilai -1 dan juga ruas kirinya bernilai -1.

2. Deret Infinit Divergen
Kekeliruan dalam hal ini terjadi dikarenakan kesalahan penggunaan konsep deret divergen. Berikut ini akan saya berikan contohnya.

* Misalkan bahwa 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + ... = S, maka S - 1 = 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + ...
* Kalikan persamaan awal dengan 2, kita dapatkan:
   2S = 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + ...
   2S = S - 1
   S = -1
   Sehingga didapat nilai dari 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + ... = -1

Bagi yang masih bingung dimana letak kesalahannya, silahkan cek pembahasan berikut! :D

Pembahasan

Suatu deret yang berupa deret divergen selalu akan menghasilkan nilai tak hingga atau minus tak hingga. Suatu deret dikatakan divergen, bila nilai mutlak dari rasionya lebih kecil dari 1. Dan karena rasio pada deret diatas adalah 2 (lebih besar dari 1), maka deret diatas merupakan deret divergen. Sehingga, kita tak perlu menghitungnya seperti kita menghitung suatu deret konvergen. Dan kita akan dapatkan hasil dari deret diatas adalah tak hingga.

3. Induksi Matematika
Kesalahan dalam hal ini biasanya disebabkan oleh ketidaktelitian dalam menggunakan prinsip dasar dari induksi matematika. Perhatikan contoh berikut!

* Akan dibuktikan bahwa semua orang Indonesia memiliki umur yang sama.
Pernyataan S(n) : Pada setiap grup yang beranggotakan n orang, semuanya memiliki umur yang sama.
Dengan mengambil n adalah jumlah penduduk Indonesia, akan dibuktikan bahwa n penduduk Indonesia tersebut memiliki umur yang sama.

LANGKAH PEMBUKTIAN :
Langkah 1 : Pada setiap grup yang beranggotakan satu orang, semua orang yang didalamnya pasti memiliki umur yang sama (Ini sangatlah jelas, karena grup tersebut hanya terdiri dari satu orang).
Langkah 2 : Berdasarkan hal tersebut, kita dapatkan pernyataan S(1) adalah benar.
Langkah 3 : Pada tahap selanjutnya, akan dibuktikan bahwa jika S(n) untuk n = k benar, maka S(n) untuk n = k + 1 juga benar.
Langkah 4 : Untuk membuktikannya, dapat diasumsikan bahwa setiap grup yang beranggotakan k orang, semuanya memiliki umur yang sama. Sehingga dapat disimpulkan bahwa setiap grup yang beranggotakan k + 1 orang , semuanya juga memiliki umur yang sama (sesuai langkah 3).
Langkah 5 : Misalkan bahwa G adalah grup yang terdiri dari k + 1 orang secara acak. Maka kita hanya perlu membuktikan bahwa orang-orang yang ada pada grup G memiliki umur yang sama.
Langkah 6 : Untuk membuktikannya, kita hanya perlu menunjukkan, bahwa untuk setiap 2 orang pada grup G yang dipilih secara acak (P dan Q)  selalu memiliki umur yang sama.
Langkah 7 : Misalkan bahwa semua orang ada pada grup G kecuali P, maka akan terbentuk sebuah grup yang beranggotakan k orang. Dari sini kita tau bahwa semua orang Indonseia tersebut memiliki umur yang sama (karena pada langkah 4 sudah diasumsikan, bahwa setiap grup yang beranggotakan k orang, semuanya memiliki umur yang sama).
Langkah 8 : Misalkan bahwa semua orang ada pada grup G kecuali Q , maka kembali akan terbentuk grup beranggotakan k orang, yang berarti setiap orang yang ada didalamnya memiliki umur yang sama.
Langkah 9 : Misalkan R adalah orang lain di grup G selain dari P dan Q.
Langkah 10 : Karena Q dan R berada dalam satu grup berdasarkan langkah 7, berarti mereka memiliki umur yang sama.
Langkah 11 : Karena P dan R berada dalam satu grup berdasarkan langkah 7, berarti mereka memiliki umur yang sama.
Langkah 12 : Karena Q dan R berumur sama, serta P dan R juga berumur sama, maka dapat disimpulkan bahwa P dan Q berumur sama.
Langkah 13 : Karena kita berhasil membuktikan bahwa untuk setiap dua orang yang dipilih acak (P dan Q) pada grup G memiliki umur yang sama, maka dapat kita simpulkan bahwa semua orang yang berada pada grup G juga memiliki umur yang sama.
Langkah 14 : Sekarang, pembuktiannya sudah lengkap. Kita telah menunjukkan bahwa untuk n = 1, S(n) bernilai benar. Dan untuk setiap n = k benar, maka untuk n = k + 1 juga benar. Sehingga dapat disimpulkan bahwa pernyataan bernilai benar untuk setiap n.

Sudah menemukan letak kesalahannya? Jika sudah menemukan atau mungkin sudah menyerah, silahkan cek pembahasan berikut! :D

Pembahasan

Jika kita perhatikan kembali langkah-langkah diatas, terlihat pembuktian dilakukan dengan mencoba menunjukkan bahwa jika setiap pasangan berumur sama, maka setiap grup yang beranggotakan 3 orang, 4 orang, 5 orang, sampai seterusnya akan berumur sama. Namun yang menjadi permasalahan adalah, bahwa tidak benar jika setiap pasangan selalu berumur sama. Ini hanya benar, jika setiap grup hanya terdiri dari satu orang. Bagaimanapun, pembuktian ini menjadi salah disaat kita mencoba membuktikan bahwa setiap 2 orang (sepasang) selalu berumur sama. Jika P dan Q adalah pasangan, maka tidak ada orang ketiga R dalam pasangan tersebut untuk membuat argumen tersebut bekerja. Dan dengan demikian kita tidak dapat menyimpulkan bahwa P dan Q memiliki umur yang sama dengan membandingkannya dengan R. Dan sesuai prinsip dari Induksi Matematika, bahwa proses pembuktian akan menjadi sah jika S(1) benar, S(1) berimplikasi pada S(2), S(2) berimplikasi pada S(3), dan seterusnya. Namun pada proses pembuktian dalam kasus ini, S(1) tidak berimplikasi pada S(2), yang menyebabkan pembuktian tersebut tidak sah.

=========================================================================

Nah, itu tadi beberapa contoh kekeliruan yang terjadi dalam matematika. Masih banyak kekeliruan-kekeliruan yang lainnya. Dan untuk menghindari terjadinya kekeliruan-kekeliruan tersebut, sebaiknya dalam mempelajari sesuatu tidak hanya sekedar tau saja, melainkan benar-benar paham. Khususnya dalam bidang matematika, jangan kita hanya menghafalkan rumus-rumus saja, melainkan benar-benar memahami konsepnya dan mengetahui asal-muasal dari rumus-rumus tersebut. Sekian posting-an saya kali ini. Terimakasih untuk kunjungannya, semoga bermanfaat :))