Banyak murid sekolah dan bahkan guru menganggap bahwa mencari nilai logaritma harus menggunakan kalkulator. Pandangan ini jelas saja keliru. Karena pada dasarnya, kita dapat menghitung nilai logaritma tanpa kalkulator. Dengan memahami sifat-sifat dari logaritma, menghafalkan 4 "nilai dasar logaritma", dan memahami metode interpolasi linier, menghitung nilai logaritma tanpa kalkulator bukan lagi merupakan hal yang tidak mungkin.
B. NILAI DASAR LOGARITMA DAN AKURASI PERHITUNGAN
Berikut ini, akan saya sajikan 4 nilai, yang saya sebut sebagai "nilai dasar logaritma".
Log 2 = 0,301
Log 3 = 0,477
Log 5 = 0,698
Log 7 = 0,845
Perlu diketahui, bahwa pada metode menghitung logaritma tanpa kalkulator ini, ketepatan nilainya (akurasi perhitungan) mendekati 100% (< 100%). Artinya bahwa perhitungan tidak akan sepenuhnya tepat sesuai nilai yang seharusnya. Namun, untuk menghitung nilai-nilai logaritma yang numerus nya relatif kecil, metode ini terbilang cukup akurat (> 99,9%). Sebaliknya, jika numerusnya relatif besar, cenderung akan terjadi penyimpangan hasil akhir yang semakin besar (akurasi menurun).
Perhatikan contoh berikut!
1. Hitunglah nilai dari log 10!
Kita tau, bahwa nilai log 10 = 1. Nah sekarang, kita coba dengan metode diatas.
Log 10 = Log (2 . 5)
= Log 2 + Log 5
= 0,301 + 0,698
= 0,999 (Mendekati 1)
Sekarang perhatikan untuk menghitung nilai yang numerusnya relatif lebih besar!
2. Hitunglah nilai dari 
!
Kita tau bahwa nilai dari = 1000 . Log 10 = 1000. Sekarang kita coba dengan
metode diatas.
= 1000 . Log 10
= 1000 (Log 2 + Log 5)
= 1000 (0,301 + 0,698)
= 1000 (0,999)
= 999 (Harusnya 1000)
Terlihat jelas, bahwa semakin besar numerusnya, semakin kecil akurasinya. Namun, untuk perhitungan logaritma yang umum kita temui sehari-hari (semisal pada soal setingkat SMP atau SMA), metode diatas merupakan salah satu metode yang cukup akurat untuk digunakan.
C. MEMPERBESAR AKURASI PERHITUNGAN
Pada dasarnya, kita bisa meningkatkan akurasi perhitungan. Namun tentunya, ada usaha lebih yang harus dilakukan. Yaitu dengan menghafal "nilai dasar logaritma" diatas dengan digit dibelakang koma yang lebih banyak. Karena semakin banyak digit dibelakang koma yang kita gunakan dalam perhitungan, semakin besar pula akurasinya. Namun tetap perlu diingat, bahwa akurasinya tidak akan mencapai 100%.
Pada data diatas, saya menyajikan "nilai dasar logaritma" dengan 3 digit angka dibelakang koma. Berikut akan saya berikan data "nilai dasar logaritma" dengan 9 digit angka dibelakang koma.
Log 2 = 0,301029996
Log 3 = 0,477121255
Log 5 = 0,698970004
Log 7 = 0,845098040
(Catatan : Nilai diatas bisa dipotong sesuai kebutuhan. Misal kita hanya ingin menggunakan 4 digit dibelakang koma dari log 2, bisa kita sederhanakan menjadi log 2 = 0,3010)
Perhatikan soal berikut!
1. Hitunglah nilai dari !
Sekarang kita coba gunakan nilai dasar logaritma dengan 5 digit dibelakang koma.
= 1000 . Log (2 . 5)
= 1000 (Log 2 + Log 5)
= 1000 (0,30102 + 0,69897)
= 1000 (0,99999)
= 999,99 (mendekati 1000)
Terlihat bahwa dengan menggunakan digit dibelakang koma yang lebih banyak dalam perhitungan, semakin besar akurasinya. Namun, tidak perlu sampai hafal 9 digit tersebut atau bahkan lebih. Bisa kita sesuaikan dengan kebutuhan (Saya relomendasikan untuk menghafal 3 digit saja).
D. CONTOH SOAL DAN PEMBAHASAN
1. Hitunglah nilai dari Log 42 !
Log 42 = Log (2 . 3 . 7)
= Log 2 + Log 3 + Log 7
= 0,301 + 0,477 + 0,845
= 1,623 (Hasilnya 1,62324929 dengan Ms. Excel)
2. Hitunglah nilai dari
!
=
=
= 1,771 (Hasilnya 1,771243749 dengan Ms. Excel)
3. Hitunglah nilai dari
!
=
=
=
=
(Hasilnya 4,392317423 dengan Ms. Excel)
4. Hitunglah nilai dari Log 0,18 !
Log 0,18
=
= Log 18 - Log 100
= Log 9 + Log 2 - Log 100
= (2 Log 3) + Log 2 - 2
= 0,954 + 0,301 - 2
= - 0,745 (Hasilnya -0,744727495 dengan Ms. Excel)
E. INTERPOLASI LINEAR
Pada posting-an saya kali ini, saya tidak akan membahas secara mendetail tentang interpolasi linear. Namun secara singkat saja, interpolasi linear adalah salah satu metode untuk mencari koordinat sebuah titik, diantara dua buah titik data yang diketahui dengan membuat sebuah garis linier yang melalui kedua titik data tersebeut. Rumus dari interpolasi linier yaitu:
+y_%7B1%7D%7D "\large {\color{Golden}y= \frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}(x-x_{1})+y_{1}}")
Keterangan:
x dan y adalah koordinat yang kita cari, sementara%7D "\tiny {\color{Golden} (x_{1},y_{1})}")
dan %7D "\tiny {\color{Golden} (x_{2},y_{2})}")
adalah dua buah koordinat yang kita ketahui nilainya
Mungkin masih banyak yang bingung, "kenapa kita harus pelajari metode interpolasi linier ini?". Jawabannya adalah karena tidak semua perhitungan logaritma bisa kita hitung secara langsung hanya dengan sifat-sifat logaritma sederhana dan menghafalkan 4 nilai dasar logaritma diatas. Untuk lebih memahaminya, perhatikan contoh soal berikut!
Hitunglah nilai dari Log 13 !
Kita tau bahwa 13 adalah bilangan prima. Sementara nilai dasar yang kita perlu tau cukup sampai Log 7 saja. Jadi, bagaimana cara menghitungnya?
Kita gunakan metode interpolasi linier.
Langkah pertama, kita tentukan terlebih dahulu dan . Karena nilai yang paling dekat dengan 13 adalah 12 dan 14, maka kita dapatkan nilai 
= 12 dan 
= 14.
Sekarang kita akan menghitumng nilai untuk
dan 
.
= Log 12 = Log 3 + Log 4 = Log 3 + (2 Log 2) = 0,477 + 0,602 = 1,079
= Log 14 = Log 2 + Log 7 = 0,301 + 0,845 = 1,146
Langkah kedua, masukkan nilai-nilai tersebut kedalam rumus (Nilai x kita ganti dengan 13).
+1,079%7D "\tiny {\color{Golden} y=\frac{1,146-1,079}{14-12}(13-12)+1,079}")
Kita tau bahwa nilai dari
metode diatas.
= 1000 (Log 2 + Log 5)
= 1000 (0,301 + 0,698)
= 1000 (0,999)
= 999 (Harusnya 1000)
Terlihat jelas, bahwa semakin besar numerusnya, semakin kecil akurasinya. Namun, untuk perhitungan logaritma yang umum kita temui sehari-hari (semisal pada soal setingkat SMP atau SMA), metode diatas merupakan salah satu metode yang cukup akurat untuk digunakan.
C. MEMPERBESAR AKURASI PERHITUNGAN
Pada dasarnya, kita bisa meningkatkan akurasi perhitungan. Namun tentunya, ada usaha lebih yang harus dilakukan. Yaitu dengan menghafal "nilai dasar logaritma" diatas dengan digit dibelakang koma yang lebih banyak. Karena semakin banyak digit dibelakang koma yang kita gunakan dalam perhitungan, semakin besar pula akurasinya. Namun tetap perlu diingat, bahwa akurasinya tidak akan mencapai 100%.
Pada data diatas, saya menyajikan "nilai dasar logaritma" dengan 3 digit angka dibelakang koma. Berikut akan saya berikan data "nilai dasar logaritma" dengan 9 digit angka dibelakang koma.
Log 2 = 0,301029996
Log 3 = 0,477121255
Log 5 = 0,698970004
Log 7 = 0,845098040
(Catatan : Nilai diatas bisa dipotong sesuai kebutuhan. Misal kita hanya ingin menggunakan 4 digit dibelakang koma dari log 2, bisa kita sederhanakan menjadi log 2 = 0,3010)
Perhatikan soal berikut!
1. Hitunglah nilai dari
Sekarang kita coba gunakan nilai dasar logaritma dengan 5 digit dibelakang koma.
= 1000 (Log 2 + Log 5)
= 1000 (0,30102 + 0,69897)
= 1000 (0,99999)
= 999,99 (mendekati 1000)
Terlihat bahwa dengan menggunakan digit dibelakang koma yang lebih banyak dalam perhitungan, semakin besar akurasinya. Namun, tidak perlu sampai hafal 9 digit tersebut atau bahkan lebih. Bisa kita sesuaikan dengan kebutuhan (Saya relomendasikan untuk menghafal 3 digit saja).
D. CONTOH SOAL DAN PEMBAHASAN
1. Hitunglah nilai dari Log 42 !
Log 42 = Log (2 . 3 . 7)
= Log 2 + Log 3 + Log 7
= 0,301 + 0,477 + 0,845
= 1,623 (Hasilnya 1,62324929 dengan Ms. Excel)
2. Hitunglah nilai dari
=
=
= 1,771 (Hasilnya 1,771243749 dengan Ms. Excel)
3. Hitunglah nilai dari
=
=
=
=
4. Hitunglah nilai dari Log 0,18 !
Log 0,18
=
= Log 18 - Log 100
= Log 9 + Log 2 - Log 100
= (2 Log 3) + Log 2 - 2
= 0,954 + 0,301 - 2
= - 0,745 (Hasilnya -0,744727495 dengan Ms. Excel)
E. INTERPOLASI LINEAR
Pada posting-an saya kali ini, saya tidak akan membahas secara mendetail tentang interpolasi linear. Namun secara singkat saja, interpolasi linear adalah salah satu metode untuk mencari koordinat sebuah titik, diantara dua buah titik data yang diketahui dengan membuat sebuah garis linier yang melalui kedua titik data tersebeut. Rumus dari interpolasi linier yaitu:
Keterangan:
x dan y adalah koordinat yang kita cari, sementara
Mungkin masih banyak yang bingung, "kenapa kita harus pelajari metode interpolasi linier ini?". Jawabannya adalah karena tidak semua perhitungan logaritma bisa kita hitung secara langsung hanya dengan sifat-sifat logaritma sederhana dan menghafalkan 4 nilai dasar logaritma diatas. Untuk lebih memahaminya, perhatikan contoh soal berikut!
Hitunglah nilai dari Log 13 !
Kita tau bahwa 13 adalah bilangan prima. Sementara nilai dasar yang kita perlu tau cukup sampai Log 7 saja. Jadi, bagaimana cara menghitungnya?
Kita gunakan metode interpolasi linier.
Langkah pertama, kita tentukan terlebih dahulu
Sekarang kita akan menghitumng nilai untuk
Langkah kedua, masukkan nilai-nilai tersebut kedalam rumus (Nilai x kita ganti dengan 13).
Seperti dijelaskan diatas, bahwa metode ini adalah metode dengan menggunakan sebuah garis lurus (linier). Sementara kita tau, bahwa grafik fungsi logaritma adalah sebuah kurva dan bukan garis lurus. Sehingga, nilai yang kita dapat dengan metode interpolasi linier ini adalah nilai perkiraan, dan bukan sepenuhnya nilai yang sebenarnya (Akurasinya mendekati 100%).
F. LOGARITMA NATURAL
Satu lagi bentuk logaritma yang umum kita jumpai adalah logaritma natural. Logaritma natural adalah logaritma yang memiliki basis bilangan Euler (e = 2,7182818...). Logaritma natural biasanya ditulis dengan bentuk Ln (dibaca Lon). Contohnya adalah Ln 2. Apa artinya? Artinya adalah
Nah, untuk memudahkan kita dalam menghitung nilai dari logaritma natural, ada satu bilangan lagi yang perlu kita hafal nilainya, yaitu:
Log e = 0,4342944819
Perhatikan contoh berikut!
Hitunglah nilai dari Ln 3 !
Ln 3
=
=
= 1,099 (Hasilnya 1,098612289 dengan Ms. Excel)
Dari contoh diatas, kita bisa buat rumus untuk mencari nilai Ln x, dengan x adalah bilangan real positif.
G. SOAL LATIHAN
Cobalah kerjakan soal-soal berikut ini tanpa menggunakan kalkulator!
Hitunglah nilai dari:
1. Log 196 !
2.
3. Log 0,48 !
4. Log 33 !
5. Ln 10 !
6. Ln 0,24 !
sebenernya menurut saya bagian paling atas itu, cara yg kamu kasih tahu itu ketepatannya adalah 100%, hanya saja kamu kurang membulatkan log 5 itu, kan log 5=0.698970004 (versi kalkulator), dan jika dibulatkan ke 3 desimal terakhir, menjadi 0.699. sedangkan kamu log 5 itu 0.598. bukti nya ya:
BalasHapuslog 10= log(5.2)=log 5+ log 2= 0.699+0.301=1 (sesuai kalkulator).
wah iya, terimakasih untuk masukkannya :)
HapusJika dibulatkan dalam 3 digit hasilnya bukan eksak, tapi mendekati ka
HapusJadi tetap hasilnya mendekati 0
gangerti:(
BalasHapusmakasih banget yaaa,jadi ngerti gw.mudah mudahan besok ulangan bisa. amin........
BalasHapusiya, terimakasih apresiasinya :)
HapusKalo misalnya log 19 gimana?
BalasHapusBisa menggunakan interpolasi linier dengan mengambil x1 = 18 dan x2 = 20. Nah selanjutnya tinggal dimasukkan ke rumus :)
Hapusbagus banget mas, tp saran saya, backgroundnya jangan hita. liat 2 menit mata sudah pegel.... makasih ya
BalasHapusterimakasih untuk apresiasi dan sarannya :)
HapusMakasih jls bget pnjelasan'y.. :)
BalasHapusterimakasih apresiasinya :)
BalasHapus��
BalasHapusHmm...kalau menurut saya ini mudah dipahami kok. Saya yang baru mau masuk SMA udah bisa mencerna pemahaman tentang logaritma. Makasih banyak mas ;-)
BalasHapusSamasama, terimakasih juga untuk apresiasinya :)
HapusSiap gan :D
BalasHapusTerimakasih juga untuk kunjungannya :)
kalau Ln (x - 2) + Ln (2x - 1) = 5
BalasHapusberapa nilainya x?
bagaimana caranya?
Pakai sifat-sifat logaritma nanti dapet :
BalasHapusln (x-2) + ln (2x-1) = 5
ln (x-2)(2x-1) = 5
e^5 = (x-2)(2x-1)
e^5 = 2x^2 - 5x + 2
2x^2 - 5x + (2 - e^5) = 0
Nah ini pake rumus ABC aja. Nanti dapet x nya.
Oiya, tapi karena domain definisinya x > 2, nanti nilai x yg didapet dicek dulu, apakah x nya > 2 atau nggak. Kalau iya berarti nilai x itu solusinya.
HapusInformasinya bermanfaat bgt :D makasih ^^
BalasHapusSamasama, terimakasih juga untuk apresiasinya :)
HapusTapi jika cara menghitung lognya yang mengandung koma misalnya log 10,5 saya tidak tahu bagaimana caranya.Tolong kasih tau caranya.
BalasHapusBisa diakali dengan cara berikut.
Hapuslog 21 = log (10,5)(2) = log 10,5 + log 2
-> log 10,5 = log 21 - log 2
Nah untuk log 21 kan bisa dicari nilainya, serta log 2 juga sudah diketahui nilainya. Jadi kita bisa dapet nilai dari log 10,5.
Samasama :))
BalasHapusbagus bro... !!!!
BalasHapusTerimakasih apresiasinya :)
Hapuskalau ln -1,9 bgmn ya mas mencarinya..
HapusKalau numerusnya negatif nggak bisa dihitung mas, numerusnya harus bilangan real non-negatif (nol pun nggak bisa).
Hapussangat membantu bgt
HapusTerimakasih apresiasinya :)
Hapusklo (log 49 per log 4) dikurangi (log27 per log 5) hasilnya berapa , n caranya gimana bos???
BalasHapusDisederhanakan dulu bentuknya.
Hapus(log 49 / log 4) - (log 27 / log 5)
= (log (7^2) / log (2^2)) - (log (3^3) / log 5)
= ((2 log 7) / (2 log 2)) - ((3 log 3) / log 5)
= (log 7 / log 2) - 3 (log 3 / log 5)
Nah dari sini tinggal dimasukkan saja nilai log 2, log 3, log 5 dan log 7 nya :)
om kalo diketahun log a = 900, trus yang ditanyakan a = brapa om?
BalasHapusPakai definisi nya saja, log a = 900 berarti a = 10^(900)
Hapusmas kalo 3 log 2 = m dan 2 log 5 = n maka nilai 5log 15 =
HapusSaya klarifikasi pak, 5log15= 5log5 + 5log3, jadi 1+1/mn= (mn+1)/mn.
HapusTerima kasih pak ilmunya.
Saya klarifikasi pak, 5log15= 5log5 + 5log3, jadi 1+1/mn= (mn+1)/mn.
HapusTerima kasih pak ilmunya.
Wah terimakasih banyak untuk koreksinya mas hehe :)
HapusSaya perbaiki untuk jawaban yg salah tadi.
Hapusmn=(3 log 2)(2 log 5)=(3 log 5)
Berarti (5 log 3)= 1/mn
Sehingga, dengan sifat2 logaritma diperoleh :
(5 log 15)=(5 log(5.3))=(5 log 5)+(5 log 3) = 1+(1/mn)=(mn+1)/(mn)
Wow Mantap Min
BalasHapusTerima kasih atas info-infonya min :)
Terimakasih apresisasinya :)
HapusKalo 4 log.3 log 125.25 log 16 = brpa ya
BalasHapusMaaf, soalnya agak kurang jelas, yg menjadi basis dan numerusnya yg mana saja ya?
Hapusmksh.. top deh jelas banget neranginnya.
BalasHapusTerimakasih apresiasinya :)
Hapusgimana cara menghitung logaritma of total asset suatu perusahaan yaa ?? tolong infonya
BalasHapusWah maaf, saya kurang mendalami tentang itu. Mungkin bisa ditanyakan ke orang2 yg concern dibidang ekonomi.
HapusMalam ka,
BalasHapusApakah bisa d ketahui dengan rumus penjumlahan kenapa hasil dari log 2= 0.301
mohon infonya
dan terima kasih info d atas sngat membantu
wah kalau untuk nilai log 2 sendiri tidak bisa dicari dengan rumus penjumlahan
Hapuslog 10 - log 100 berapa ya please di jawab
BalasHapusLog 10 - Log 100 = 1 - 2 = -1
HapusTrimakasih utk pak garry, blog nya bagus n saya jd mnyukai pelajaran logaritma, n sgt brmnfaat bwt sya ngajar.
BalasHapusLebih dperbanyak pak contoh soal yg dsertai keterangan utk siswa" yg baru mempelajarinya diskolah.
Trimakasih
Sama-sama, trimakasih juga untuk apresiasinya
HapusMakasih banget... Ini yang saya cari² gk ada dilain.... Ini yang saya cari untuk mengerjakan rumus waktu paro kimia, bingung cari 2 pangkat berapa hasilnya 5 dan hasilnya😂... Pokoknya makasih gan😊
BalasHapusSamasama (y)
HapusJika soalnya begini gimana
BalasHapusLN x =3y
Ditanya x?
Halo.
HapusKalau soal ini bisa dikerjakan secara langsung dengan menggunakan definisi logaritma.
Bentuk ln x = 3y bisa diubah menjadi x = e^(3y).
Hasil dari log19 adalah.....
BalasHapusHalo.
HapusKalau untuk menghitung nilai dari log 19, bisa menggunakan interpolasi linear dengan mengambil x1 = 18 dan x2 = 20. Selanjutnya bisa dihitung nilai y1 dan y2 terlebih dahulu. Terakhir, masukkan nilai x1, x2, x3, x4 ke dalam rumusnya.
Itu (2log 3) hasilnya 0.954 dari mana? Aku masih bingung:(
BalasHapusHalo.
BalasHapusUntuk 2 log 3 itu bisa dijabarkan menjadi:
2 log 3 = 2 x (0.477) = 0.954
gimana caranya cari nilai logaritma dari barisan. misalnya cari nilai log 5. gimana kak?
BalasHapusOhiya maksudnya mencari nilai logaritma dari barisan itu seperti apa ya? Pendekatan nilai logaritma menggunakan barisan atau gimana?
Hapusiya bener kak. gimana caranya?
HapusWah kalau untuk mencari nilai logaritma menggunakan barisan saya juga masih kurang begitu paham, yang pasti perlu construct barisan yang mana barisannya bisa dibuktikan konvergen ke log 5. Nanti dari barisan itu dimanipulasi supaya ketemu bentuk estimasi nilai log 5 nya (dalam bentuk pertidaksamaan). Selanjutnya, nilai estimasinya dihitung secara manual.
Hapus33/10 log 31 ?
BalasHapusIni maksudnya (33/10)x(log 31) atau bagaimana ya?
HapusGile tua bet blognya:v
BalasHapusHaha dari jaman saya masih sekolah dulu ini blog
Hapus