Kekeliruan dalam Matematika (Mathematical Fallacy) *Bagian 3*

Halo sobat semua! :D
Pada kesempatan kali ini, saya akan kembali melanjutkan posting-an mengenai kekeliruan dalam matematika. Bagi yang belum melihat posting-an sebelumnya, bisa dilihat di link-link berikut ini:

Kekeliruan dalam Matematika (Mathematical Fallacy) *Bagian 1*
Kekeliruan dalam Matematika (Mathematical Fallacy) *Bagian 2*

Nah kalau sudah, langsung aja kita mulai posting-an "Kekeliruan dalam Matematika (Mathematical Fallacy) *Bagian 3*" kali ini. Check this out guys! :)

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

SOAL 1
Akan dibuktikan bahwa 0 = -1.





Asumsikan u = sec x dan dv = sin x dx. Maka dengan menggunakan rumus integral parsial, kita peroleh:



Karena sec x . cos x = 1, maka:







TERBUKTI

Pembahasan

Kita tau bahwa integral dari suatu fungsi tidaklah tunggal, melainkan menghasilkan suatu keluarga fungsi. Sekarang, kita perhatikan pada baris ke-4. Misalkan bahwa untuk suatu . Maka:


.
Dari sini kita peroleh bahwa nilai konstanta akan mengikuti persamaan , sehingga tidak akan terjadi 0 = -1.

SOAL 2
Akan dibuktikan 2 = 1.
Untuk sembarang bilangan bulat positif x, kita bisa dapatkan:


Kalikan kedua ruas dengan x diperoleh:



Diferensialkan kedua ruas terhadap x diperoleh:









Karena x > 0, kita bisa bagi kedua ruas dengan x. Sehingga kita dapatkan  .
TERBUKTI

Pembahasan

Perhatikan baris ke2! Terlihat bahwa coba direpresentasikan sebagai jumlahan x sebanyak x buah. Jika kita amati lebih jauh, bentuk jumlahan ini bisa kita ringkas menjadi untuk . Disinilah kesalahan bermula. Pada pembuktian diatas, kita mencoba mendiferensialkan nilai dengan menganggap sebagai suatu konstanta. Padahal sangat jelas bahwa dimana x adalah suatu variabel. Sehingga, proses pen-diferensialan seharusnya menjadi:






Karena , maka:

SOAL 3
Akan dibuktikan bahwa berat seekor semut dengan seekor beruang adalah sama.
Misalkan bahwa berat semut (dalam kilogram) adalah  S.
Misalkan bahwa berat beruang (dalam kilogram) adalah B.
Misalkan bahwa berat gabungan dari semut dan beruang tersebut (dalam kilogram) adalah T.
Maka kita peroleh:







Kalikan persamaan (1) dan (2) kita dapatkan:













TERBUKTI

Pembahasan

Perhatikan bentuk !
Secara logika, jelas bahwa berat seekor semut tidak akan lebih besar dari beruang, berakibat S < B. Sehingga pasti berlaku
Namun, kita tau bahwa bentuk pasti lebih besar dari 0 yang berakibat .
(Kontradiksi)
Sehingga, proses dari menjadi tidak dapat dilakukan.

SOAL 4
Akan dibuktikan bahwa 3 = 0.
Diberikan suatu polinomial   . Kalikan kedua ruas dengan x diperoleh:







Substitusi persamaan 2 dengan persamaan 1 diperoleh:







Substitusi hasil ini ke persamaan 1, didapat:





TERBUKTI

Pembahasan

Kesalahan terjadi ketika pembuktian menyimpulkan bahwa memiliki solusi hanya x = 1. Padahal seharusnya:




Jelas terlihat bahwa solusinya adalah x = 1 "atau" . Namun pada pembuktian diatas, yang terjadi adalah x = 1 "dan" (yaitu dengan memasukkan nilai x = 1 ke persamaan ).

SOAL 5
Diberikan sembarang segitiga ABC seperti berikut. Buktikan bahwa segitiga tersebut adalah segitiga sama sisi!

1. Tarik garis bagi sudut A.
2. Namakan titik tengah garis BC sebagai D.
3. Buat garis sumbu dari garis BC yang memuat D.
4. Jika kedua garis yang dibuat sejajar, maka jelas bahwa AB = AC. Jika tidak, maka mereka akan berpotongan disuatu titik, namakan saja titik O.
5. Gambarkan garis OR yang tegak lurus AB.
6. Gambarkan garis OQ yang tegak lurus AC.
7. Gambarkan garis OB dan OC.

8. Berdasarkan aturan SuSiSu*, segitiga RAO kongruen dengan segitiga AOQ (AO = AO, sudut OAQ = sudut OAR karena AO merupakan garis bagi A, sudut ARO dan sudut AQO sama-sama siku-siku).
9. Berdasarkan aturan SiSuSi*, segitiga ODB kongruen dengan segitiga segitiga ODC (OD = OD, BD = DC karena OD merupakan garis sumbu, sudut ODB dan sudut ODC adalah siku-siku).
10. Segitiga ROB  kongruen dengan segitiga QOC (RO = QO karena segitiga RAO kongruen dengan segitiga QAO, BO = CO karena segitiga BOD kongruen dengan segitiga COD, sudut ORB dan sudut OQC adalah siku-siku).
11. Oleh karena itu, AR = AQ, BR = QC, dan AB = AR + RB = AQ + QC = AC.
12. Dengan langkah-langkah yang serupa, kita bisa tunjukkan bahwa AC = BC. Ini berarti bahwa AB = AC = BC, atau dengan kata lain segitiga ABC merupakan segitiga sama-sisi.
TERBUKTI

Pembahasan

Semua langkah diatas, kecuali langkah ke-11 memang benar (Termasuk bahwa 3 pasang segitiga yang terbentuk pada gambar memang kongruen). Kesalahan terletak pada gambar, dimana titik O dibuat berada didalam segitiga ABC. Pada kenyataannya, jika AB tidak sama dengan AC, titik O akan berada diluar segitiga ABC. Lebih jauh lagi, jika AB lebih panjang dari AC, R akan berada pada garis AB, sementara Q akan berada diluar garis AC (demikian sebaliknya). (Kebenaran ini bisa diperoleh dengan menggambar sebuah segitiga dengan ukuran yang akurat). Karena itu, AB tetap sama dengan AR + RB, namun AC = AQ - QC, yang menyebabkan panjang AB belum tentu sama dengan panjang AC.

Referensi : Dari berbagai sumber
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Nah, itu tadi beberapa contoh kekeliruan yang terjadi dalam bidang matematika. Semoga posting-an ini bisa bermanfaat menambah wawasan kita, dan mencegah kita melakukan kekeliruan seperti contoh-contoh diatas. Sekian, dan terima kasih untuk kunjungannya :)