A. PENDAHULUAN
Banyak murid sekolah dan bahkan guru menganggap bahwa mencari nilai logaritma harus menggunakan kalkulator. Pandangan ini jelas saja keliru. Karena pada dasarnya, kita dapat menghitung nilai logaritma tanpa kalkulator. Dengan memahami sifat-sifat dari logaritma, menghafalkan 4 "nilai dasar logaritma", dan memahami metode interpolasi linier, menghitung nilai logaritma tanpa kalkulator bukan lagi merupakan hal yang tidak mungkin.
B. NILAI DASAR LOGARITMA DAN AKURASI PERHITUNGAN
Berikut ini, akan saya sajikan 4 nilai, yang saya sebut sebagai "nilai dasar logaritma".
Log 2 = 0,301
Log 3 = 0,477
Log 5 = 0,698
Log 7 = 0,845
Perlu diketahui, bahwa pada metode menghitung logaritma tanpa kalkulator ini, ketepatan nilainya (akurasi perhitungan) mendekati 100% (< 100%). Artinya bahwa perhitungan tidak akan sepenuhnya tepat sesuai nilai yang seharusnya. Namun, untuk menghitung nilai-nilai logaritma yang numerus nya relatif kecil, metode ini terbilang cukup akurat (> 99,9%). Sebaliknya, jika numerusnya relatif besar, cenderung akan terjadi penyimpangan hasil akhir yang semakin besar (akurasi menurun).
Perhatikan contoh berikut!
1. Hitunglah nilai dari log 10!
Kita tau, bahwa nilai log 10 = 1. Nah sekarang, kita coba dengan metode diatas.
Log 10 = Log (2 . 5)
= Log 2 + Log 5
= 0,301 + 0,698
= 0,999 (Mendekati 1)
Sekarang perhatikan untuk menghitung nilai yang numerusnya relatif lebih besar!
2. Hitunglah nilai dari
!
Kita tau bahwa nilai dari
= 1000 . Log 10 = 1000. Sekarang kita coba dengan
metode diatas.
= 1000 . Log 10
= 1000 (Log 2 + Log 5)
= 1000 (0,301 + 0,698)
= 1000 (0,999)
= 999 (Harusnya 1000)
Terlihat jelas, bahwa semakin besar numerusnya, semakin kecil akurasinya. Namun, untuk perhitungan logaritma yang umum kita temui sehari-hari (semisal pada soal setingkat SMP atau SMA), metode diatas merupakan salah satu metode yang cukup akurat untuk digunakan.
C. MEMPERBESAR AKURASI PERHITUNGAN
Pada dasarnya, kita bisa meningkatkan akurasi perhitungan. Namun tentunya, ada usaha lebih yang harus dilakukan. Yaitu dengan menghafal "nilai dasar logaritma" diatas dengan digit dibelakang koma yang lebih banyak. Karena semakin banyak digit dibelakang koma yang kita gunakan dalam perhitungan, semakin besar pula akurasinya. Namun tetap perlu diingat, bahwa akurasinya tidak akan mencapai 100%.
Pada data diatas, saya menyajikan "nilai dasar logaritma" dengan 3 digit angka dibelakang koma. Berikut akan saya berikan data "nilai dasar logaritma" dengan 9 digit angka dibelakang koma.
Log 2 = 0,301029996
Log 3 = 0,477121255
Log 5 = 0,698970004
Log 7 = 0,845098040
(Catatan : Nilai diatas bisa dipotong sesuai kebutuhan. Misal kita hanya ingin menggunakan 4 digit dibelakang koma dari log 2, bisa kita sederhanakan menjadi log 2 = 0,3010)
Perhatikan soal berikut!
1. Hitunglah nilai dari
!
Sekarang kita coba gunakan nilai dasar logaritma dengan 5 digit dibelakang koma.
= 1000 . Log (2 . 5)
= 1000 (Log 2 + Log 5)
= 1000 (0,30102 + 0,69897)
= 1000 (0,99999)
= 999,99 (mendekati 1000)
Terlihat bahwa dengan menggunakan digit dibelakang koma yang lebih banyak dalam perhitungan, semakin besar akurasinya. Namun, tidak perlu sampai hafal 9 digit tersebut atau bahkan lebih. Bisa kita sesuaikan dengan kebutuhan (Saya relomendasikan untuk menghafal 3 digit saja).
D. CONTOH SOAL DAN PEMBAHASAN
1. Hitunglah nilai dari Log 42 !
Log 42 = Log (2 . 3 . 7)
= Log 2 + Log 3 + Log 7
= 0,301 + 0,477 + 0,845
= 1,623 (Hasilnya 1,62324929 dengan Ms. Excel)
2. Hitunglah nilai dari
!
=
=
= 1,771 (Hasilnya 1,771243749 dengan Ms. Excel)
3. Hitunglah nilai dari
!
=
=
=
=
(Hasilnya 4,392317423 dengan Ms. Excel)
4. Hitunglah nilai dari Log 0,18 !
Log 0,18
=
= Log 18 - Log 100
= Log 9 + Log 2 - Log 100
= (2 Log 3) + Log 2 - 2
= 0,954 + 0,301 - 2
= - 0,745 (Hasilnya -0,744727495 dengan Ms. Excel)
E. INTERPOLASI LINEAR
Pada
posting-an saya kali ini, saya tidak akan membahas secara mendetail tentang interpolasi linear. Namun secara singkat saja, interpolasi linear adalah salah satu metode untuk mencari koordinat sebuah titik, diantara dua buah titik data yang diketahui dengan membuat sebuah garis linier yang melalui kedua titik data tersebeut. Rumus dari interpolasi linier yaitu:
+y_%7B1%7D%7D "\large {\color{Golden}y= \frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}(x-x_{1})+y_{1}}")
Keterangan:
x dan y adalah koordinat yang kita cari, sementara
%7D "\tiny {\color{Golden} (x_{1},y_{1})}")
dan
%7D "\tiny {\color{Golden} (x_{2},y_{2})}")
adalah dua buah koordinat yang kita ketahui nilainya
Mungkin masih banyak yang bingung, "kenapa kita harus pelajari metode interpolasi linier ini?". Jawabannya adalah karena tidak semua perhitungan logaritma bisa kita hitung secara langsung hanya dengan sifat-sifat logaritma sederhana dan menghafalkan 4 nilai dasar logaritma diatas. Untuk lebih memahaminya, perhatikan contoh soal berikut!
Hitunglah nilai dari Log 13 !
Kita tau bahwa 13 adalah bilangan prima. Sementara nilai dasar yang kita perlu tau cukup sampai Log 7 saja. Jadi, bagaimana cara menghitungnya?
Kita gunakan metode interpolasi linier.
Langkah pertama, kita tentukan terlebih dahulu
dan
. Karena nilai yang paling dekat dengan 13 adalah 12 dan 14, maka kita dapatkan nilai
= 12 dan
= 14.
Sekarang kita akan menghitumng nilai untuk
dan
.
= Log 12 = Log 3 + Log 4 = Log 3 + (2 Log 2) = 0,477 + 0,602 = 1,079
= Log 14 = Log 2 + Log 7 = 0,301 + 0,845 = 1,146
Langkah kedua, masukkan nilai-nilai tersebut kedalam rumus (Nilai x kita ganti dengan 13).
+1,079%7D "\tiny {\color{Golden} y=\frac{1,146-1,079}{14-12}(13-12)+1,079}")
(Hasilnya 1,113943352 dengan Ms. Excel)
Seperti dijelaskan diatas, bahwa metode ini adalah metode dengan menggunakan sebuah garis lurus (linier). Sementara kita tau, bahwa grafik fungsi logaritma adalah sebuah kurva dan bukan garis lurus. Sehingga, nilai yang kita dapat dengan metode interpolasi linier ini adalah nilai perkiraan, dan bukan sepenuhnya nilai yang sebenarnya (Akurasinya mendekati 100%).
F. LOGARITMA NATURAL
Satu lagi bentuk logaritma yang umum kita jumpai adalah logaritma natural. Logaritma natural adalah logaritma yang memiliki basis bilangan Euler (e = 2,7182818...). Logaritma natural biasanya ditulis dengan bentuk Ln (dibaca Lon). Contohnya adalah Ln 2. Apa artinya? Artinya adalah
, yaitu e pangkat berapa sehingga hasilnya adalah 2.
Nah, untuk memudahkan kita dalam menghitung nilai dari logaritma natural, ada satu bilangan lagi yang perlu kita hafal nilainya, yaitu:
Log e = 0,4342944819
Perhatikan contoh berikut!
Hitunglah nilai dari Ln 3 !
Ln 3
=
=
= 1,099 (Hasilnya 1,098612289 dengan Ms. Excel)
Dari contoh diatas, kita bisa buat rumus untuk mencari nilai Ln x, dengan x adalah bilangan real positif.
G. SOAL LATIHAN
Cobalah kerjakan soal-soal berikut ini tanpa menggunakan kalkulator!
Hitunglah nilai dari:
1. Log 196 !
2.
!
3. Log 0,48 !
4. Log 33 !
5. Ln 10 !
6. Ln 0,24 !
