Hai sobat! Pada
kesempatan kali ini, saya akan mencoba mem-posting
suatu riddle yang diambil dari video Youtube berjudul “Can you solve the prisoner hat riddle? – Alex
Gendler”. Buat kamu yang suka
teka-teki dan sejenisnya, boleh banget untuk coba jawab riddle berikut. (Apalagi kalo kamu lagi nganggur, nggak ada
kerjaan, bingung mau ngapain, nah bisa banget nyoba kerjain riddle berikut untuk ngisi waktu luang
hehe :3). Nah kalo gitu langsung aja, berikut soal dan pembahasannya, check this out guys!J
Suatu ketika, Anda dan sembilan teman Anda diculik oleh
sekelompok alien yang sangat jenius. Alien-alien tersebut berpikir bahwa
memakan manusia itu terasa sangat lezat. Namun, ada satu tradisi yang dipegang
oleh alien-alien tersebut, yaitu bahwa mereka tidak boleh memakan individu
dengan kemampuan berpikir yang hebat (dalam hal ini jenius) dan individu yang
dapat bekerjasama. Sayangnya, alien-alien tersebut ragu bahwa manusia termasuk
dalam kategori individu yang tidak boleh dimakan tersebut. Akhirnya, mereka
memutuskan untuk memberikan suatu tes kepada Anda semua. Tesnya adalah sebagai
berikut.
Anda dan sembilan teman Anda akan disuruh berbaris dalam
satu barisan. Urutan barisan ditentukan berdasarkan tinggi badan. Dari depan ke
belakang, tinggi badannya harus semakin meningkat. Setelah barisan tersusun,
Anda dan teman-teman Anda akan dipasangkan topi diatas kepala masing-masing.
Topi yang dipasangkan hanya ada dua warna, yaitu topi berwarna hitam atau topi
berwarna putih. Masing-masing hanya akan mendapatkan satu topi dengan satu
warna. Topi-topi tersebut dipasangkan secara acak. Jumlah topi hitam dan putih
pun tidak diberitahukan.
Dengan barisan ini, Anda dapat melihat topi warna apa
yang dipakai oleh orang-orang yang ada didepan Anda (misalkan Anda berada pada
urutan keempat dari depan, maka Anda bisa mengetahui warna topi dari orang
ketiga, kedua dan pertama dari depan). Namun, Anda tidak bisa melihat warna
topi Anda sendiri.
Setelah semua topi tersebut dipasangkan, setiap dari Anda
diminta untuk menebak warna topinya masing-masing, dimulai dari orang yang
berada paling belakang, terus kedepan hingga yang terakhir menebak adalah orang
yang paling depan. Setiap dari Anda hanya boleh mengatakan “Hitam” atau “Putih”
dengan suara yang lantang ketika menjawabnya. Jangan pernah berpikir untuk
mengucapkan kata selain “Hitam” atau “Putih”, atau mengucapkan kata tersebut
dengan intonasi tertentu yang mencurigakan, atau menggunakan isyarat-isyarat
lain (semisal gerak-gerik tubuh), dan atau melakukan hal-hal lain diluar
ketentuan. Karena jika demikian, maka Anda dan teman Anda akan dengan segera
menjadi hidangan bagi para alien tersebut.
Anda dan teman Anda akan dibebaskan (tidak jadi dimakan)
apabila setidaknya sembilan orang dari Anda menebak dengan tepat warna topi apa
yang dipakainya. Sebelum tes tersebut dimulai, Anda dan teman-teman Anda
diberikan waktu 5 menit untuk menyusun strategi.
PERTANYAAN : Strategi
apakah yang akan Anda susun agar dapat menjamin sedikitnya sembilan orang dari
Anda menebak dengan tepat warna topi yang dipakainya?
Kalau udah (entah udah
ketemu jawabannya atau udah nyerah :p), bisa cek pembahasannya berikut ini :) --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Pembahasan (Tahap I):
Diperhatikan bahwa setidaknya 9 orang harus menebak dengan tepat warna topinya, ini berarti bahwa 9 orang tersebut harus tau dengan pasti (yakin 100%) warna topinya. Padahal, setiap orang hanya memiliki peluang 50% saja untuk menebak dengan tepat warna topinya. Artinya, harus ada satu orang yang mempertaruhkan jawabannya untuk memberikan petunjuk kepada 9 orang lainnya tentang warna topi mereka masing-masing.
Mudah untuk dipahami bahwa orang yang pertama kali menjawab (dalam hal ini orang yang berada pada urutan paling belakang dalam barisan) tentu tidak bisa melihat topinya sendiri dan tidak bisa mendapatkan petunjuk apapun mengenai warna topinya. Ini berarti bahwa peluang ia menebak dengan benar pasti hanya 50% dan tidak akan mungkin bisa lebih. Sehingga, orang yang paling tepat untuk mempertaruhkan jawabannya adalah orang yang ada di paling belakang barisan. Ia memiliki tugas untuk menyampaikan informasi kepada 9 orang lain didepannya mengenai warna topi masing-masing orang. Pertanyaannya sekarang adalah, bagaimana cara orang tersebut dapat menyampaikan informasi kepada 9 orang lainnya hanya dengan mengucapkan kata “Hitam” atau “Putih”.
Seperti kita tau bahwa topi-topi tersebut dipakaikan secara acak, sehingga memiliki sangat banyak kemungkinan susunan (yaitu kemungkinan). Ditinjau dari orang yang berada paling belakang, maka ia akan melihat ada 9 topi didepannya dengan kemungkinan susunan 9 topi tersebut ada sebanyak kemungkinan. Ini berarti, orang tersebut harus bisa mengategorikan 512 susunan tersebut hanya kedalam 2 kategori, yang nantinya akan disampaikan sebagai petunjuk melalui kata “Hitam” atau “Putih”. Pemikiran ini tentunya akan membawa kita kepada konsep paritas. Namun, konsep paritas yang bagaimanakah yang akan dipakai? Jika sobat-sobat masih penasaran, bisa coba kerjakan ulang riddle nya sebelum berlanjut ke pembahasan berikutnya :)
Pembahasan (Tahap II):
Seperti sudah diterangkan sebelumnya, maka kita akan mencoba menerapkan konsep paritas untuk menyelesaikan masalahnya. Dalam hal ini, kita akan meninjau banyaknya topi berwana hitam yang dilihat oleh orang yang berada paling belakang. Tentu saja, banyaknya topi berwarna hitam yang dilihat berkisar antara 0 sampai 9. Dari sini, konsep paritas yang mungkin diterapkan adalah apakah jumlah topi warna hitam yang dilihat oleh orang paling belakang berjumlah ganjil ataukah genap.
Untuk penjelasan selanjutnya, kita misalkan saja, jika orang yang ada di paling belakang melihat jumlah topi hitam didepannya ada sejumlah ganjil, maka ia akan mengatakan “Hitam”, dan sebaliknya, jika jumlahnya genap ia akan mengatakan “Putih”. Kita asumsikan juga bahwa orang yang paling belakang melihat ada sejumlah ganjil topi berwana hitam didepannya.
Sekarang kita tinjau proses berpikir orang kedua. Orang kedua yang akan menjawab tentunya melihat 8 topi yang ada didepannya. Dalam hal ini, proses berpikirnya adalah sebagai berikut. Jika ternyata jumlah topi berwarna hitam yang dilihatnya berjumlah ganjil, maka pastilah topi yang ia kenakan berwarna putih (karena jika topinya berwarna hitam, akan berakibat topi hitam yang dilihat oleh orang paling belakang pasti berjumlah genap bukan ganjil). Sebaliknya, jika jumlah topi hitam yang dilihat oleh orang kedua ada sebanyak genap, maka pastilah topi yang ia kenakan berwarna hitam (karena jika topinya warna putih, akan berakibat topi hitam yang dilihat oleh orang paling belakang pasti berjumlah genap bukan ganjil).
Sekarang, kita akan meninjau pola pikir orang-orang yang ada pada urutan ketiga sampai kesembilan dari belakang. Orang-orang pada urutan ini tentunya akan menggabungkan informasi yang ia peroleh dari jawaban-jawaban sebelumnya serta jumlah topi hitam yang ada didepannya dengan cara sebagai berikut. Setiap orang tersebut harus menghitung berapa kali orang-orang dibelakangnya menjawab “Hitam” (tidak termasuk yang disebutkan oleh orang pertama). Kemudian, hasil perhitungan tersebut dijumlahkan dengan banyaknya topi hitam yang ia lihat didepannya (namakan saja hasil perhitungan ini dengan variabel x). Jika x bernilai ganjil, maka pastilah topinya berwarna putih, dan sebaliknya, jika x bernilai genap, maka pastilah topinya berwarna hitam.
Contohnya sebagi berikut. Misalkan orang pada urutan kelima dari belakang mendengar dua dari empat orang dibelakangnya (tidak termasuk orang diurutan paling belakang) menjawab hitam, sementara ia melihat bahwa didepannya ada 3 orang mengenakan topi berwana hitam. Ini berarti x=2+3=5 (ganjil). Karena orang pertama tadi menjawab “Hitam” (yang berarti bahwa dari 9 topi yang dilihatnya, ada sejumlah ganjil topi yang berwarna hitam), maka pastilah topi yang dikenakan oleh orang kelima tersebut berwarna putih.
Nah sekarang, bagaimanakah dengan orang yang paling depan? Untuk bisa menjawab, maka ia cukup menghitung banyaknya orang dibelakangnya yang menjawab “Hitam” (tidak termasuk orang pertama). Jika yang menjawab “Hitam” ada sebanyak ganjil, maka pastilah topinya berwarna putih, dan sebaliknya, jika yang menjawab “Hitam” ada sebanyak genap, maka pastilah topinya berwarna hitam.
Dengan cara ini, sembilan orang terdepan akan bisa dengan pasti (yakin 100%) menebak topi warna apa yang mereka kenakan. Dan untuk orang paling belakang, tidak masalah apakah jawabannya benar atau salah, karena maksimal satu orang boleh menjawab tidak tepat.
Contoh:
Sekarang, kita akan coba terapkan cara tersebut untuk susunan berikut (Kesepakatannya adalah, ketika orang yang berada paling belakang melihat jumlah topi hitam didepannya sejumlah ganjil, ia akan mengatakan “Hitam”, sementara jika genap, ia akan mengatakan “Putih”).
Orang Pertama
Ia melihat ada 4 orang didepannya yang memakai topi berwarna hitam. Maka ia akan menjawab Putih.
Orang Kedua
Ia melihat ada 3 orang didepannya yang memakai topi berwarna hitam. Maka ia akan menjawab Hitam.
Orang Ketiga
Ia melihat ada 3 orang didepannya yang memakai topi berwarna hitam. Ia juga mendengar bahwa 1 orang dibelakangnya (tidak termasuk orang paling belakang) menjawab hitam. Berarti x=4. Maka ia akan menjawab Putih.
Orang Keempat
Ia melihat ada 3 orang didepannya yang memakai topi berwarna hitam. Ia juga mendengar bahwa 1 dari dua orang dibelakangnya (tidak termasuk orang paling belakang) menjawab hitam. Berarti x=4. Maka ia akan menjawab Putih.
Orang Kelima
Ia melihat ada 2 orang didepannya yang memakai topi berwarna hitam. Ia juga mendengar bahwa 1 dari 3 orang dibelakangnya (tidak termasuk orang paling belakang) menjawab hitam. Berarti x=3. Maka ia akan menjawab Hitam.
Orang Keenam
Ia melihat ada 2 orang didepannya yang memakai topi berwarna hitam. Ia juga mendengar bahwa 2 orang dibelakangnya (tidak termasuk orang paling belakang) menjawab hitam. Berarti x=4. Maka ia akan menjawab Putih.
Orang Ketujuh
Ia melihat ada 2 orang didepannya yang memakai topi berwarna hitam. Ia juga mendengar bahwa 2 orang dibelakangnya (tidak termasuk orang paling belakang) menjawab hitam. Berarti x=4. Maka ia akan menjawab Putih.
Orang Kedelapan
Ia melihat ada 1 orang didepannya yang memakai topi berwarna hitam. Ia juga mendengar bahwa 2 orang dibelakangnya (tidak termasuk orang paling belakang) menjawab hitam. Berarti x=3. Maka ia akan menjawab Hitam.
Orang Kesembilan
Ia tidak melihat ada orang didepannya yang memakai topi berwarna hitam. Tapi ia mendengar bahwa 3 orang dibelakangnya (tidak termasuk orang paling belakang) menjawab hitam. Berarti x=3. Maka ia akan menjawab Hitam.
Orang Kesepuluh
Ia mendengar ada 4 orang dibelakangnya (tidak termasuk orang yang paling belakang) menjawab hitam. Maka ia akan menjawab Putih.
